福師《實(shí)變函數(shù)》在線作業(yè)一

共50道題 總分：100分

一、判斷題(共37題，74分)

1.積分的四條基本性質(zhì)構(gòu)成整個(gè)積分論的基礎(chǔ)，而其導(dǎo)出性質(zhì)是基本性質(zhì)的邏輯推論。

A、錯(cuò)誤

B、正確

2.f為[a,b]上減函數(shù)，則f'(x)在[a,b]可積且其積分值∫fdx≤f(b)-f(a) .

A、錯(cuò)誤

B、正確

3.f∈BV，則f有“標(biāo)準(zhǔn)分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分別為f的正變差和負(fù)變差.

A、錯(cuò)誤

B、正確

4.f可積的必要條件:f幾乎處處有限，且集X(f≠0)有sigma-有限測(cè)度。

A、錯(cuò)誤

B、正確

5.對(duì)任意可測(cè)集E，若f在E上可積，則f的積分具有絕對(duì)連續(xù)性.

A、錯(cuò)誤

B、正確

6.f可積的充要條件:|f|可積。

A、錯(cuò)誤

B、正確

7.三大積分收斂定理是積分論的中心結(jié)果。

A、錯(cuò)誤

B、正確

8.增函數(shù)f在[a,b]上至多有可數(shù)個(gè)間斷點(diǎn)，且只能有第一類(lèi)間斷點(diǎn).

A、錯(cuò)誤

B、正確

9.設(shè)f:R->R可測(cè)，f(x+y)=f(x)+f(y),則f(x)=ax

A、錯(cuò)誤

B、正確

10.f可積的充要條件是f+和f-都可積.

A、錯(cuò)誤

B、正確

11.一致收斂的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)序列的極限函數(shù)也是絕對(duì)連續(xù)函數(shù).

A、錯(cuò)誤

B、正確

12.利用有界變差函數(shù)可表示為兩個(gè)增函數(shù)之差，可將關(guān)于單調(diào)函數(shù)的一些結(jié)論轉(zhuǎn)移到有界變差函數(shù)：幾乎處處可微而且導(dǎo)函數(shù)可積。

A、錯(cuò)誤

B、正確

13.可積的充分條件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.

A、錯(cuò)誤

B、正確

14.一致收斂的有界變差函數(shù)序列的極限函數(shù)也是有界變差函數(shù).

A、錯(cuò)誤

B、正確

15.若f,g是增函數(shù)，則f+g,f-g,fg也是增函數(shù)。

A、錯(cuò)誤

B、正確

16.三大積分收斂定理是實(shí)變函數(shù)論的基本結(jié)果。

A、錯(cuò)誤

B、正確

17.集合A可測(cè)等價(jià)于該集合的特征函數(shù)X_A可測(cè)

A、錯(cuò)誤

B、正確

18.存在[0,1]上的有界可測(cè)函數(shù)，使它不與任何連續(xù)函數(shù)幾乎處處相等．

A、錯(cuò)誤

B、正確

19.零測(cè)度集的任何子集都是可測(cè)集.

A、錯(cuò)誤

B、正確

20.有界可測(cè)集的測(cè)度為有限數(shù)，無(wú)界可測(cè)集的測(cè)度為+∞

A、錯(cuò)誤

B、正確

21.f在E上可積的充要條件是級(jí)數(shù) M[E(|f|>=n)]之和收斂.

A、錯(cuò)誤

B、正確

22.若f,g∈AC，則|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不為0),f∧g,f∨g均屬于AC。

A、錯(cuò)誤

B、正確

23.若f可測(cè)，則|f|可測(cè)，反之也成立.

A、錯(cuò)誤

B、正確

24.可數(shù)集的測(cè)度必為零，反之也成立.

A、錯(cuò)誤

B、正確

25.對(duì)R^n中任意點(diǎn)集E，E\E’必為可測(cè)集.

A、錯(cuò)誤

B、正確

26.有界可測(cè)函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上L可積的充要條件是f在[a,b]上幾乎處處連續(xù).

A、錯(cuò)誤

B、正確

27.無(wú)論Riemann積分還是Lebesgue積分，只要|f|可積，則f必可積.

A、錯(cuò)誤

B、正確

28.若f,g∈BV，則f/g(g不為0)屬于BV。

A、錯(cuò)誤

B、正確

29.若F是R中一緊集(即有界閉集)且F不等于R，則F是從一閉區(qū)間中挖去可數(shù)個(gè)互不相交的開(kāi)區(qū)間后所得之集.

A、錯(cuò)誤

B、正確

30.L積分下Newton-leibniz公式成立的充要條件是被積函數(shù)為絕對(duì)連續(xù)函數(shù)。

A、錯(cuò)誤

B、正確

31.若f∈L1[a,b],則幾乎所有的x屬于[a,b]均是g的L點(diǎn).

A、錯(cuò)誤

B、正確

32.若f∈C1[a,b]（連續(xù)可微）,則f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].

A、錯(cuò)誤

B、正確

33.閉集套定理的內(nèi)容是：{F_k}是R^n中非空有界閉集的降列，則F_k對(duì)所有k取交集非空.

A、錯(cuò)誤

B、正確

34.函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上Ｒ可積的充要條件是f在區(qū)間[a,b]上的不連續(xù)點(diǎn)集為零測(cè)度集.

A、錯(cuò)誤

B、正確

35.當(dāng)f在(0,+∞)上一致連續(xù)且L可積時(shí)，則lim_{x->+∞}f(x)=0.

A、錯(cuò)誤

B、正確

36.f∈BV，則f幾乎處處可微，且f’∈L1[a,b].

A、錯(cuò)誤

B、正確

37.若f∈BV,則f有界。

A、錯(cuò)誤

B、正確

二、單選題(共5題，10分)

1.若|A|=|B|,|C|=|D|,則

A、|A∪C|=|B∪D|

B、|A∩C|=|B∩D|

C、|A\C|=|B\D|

D、當(dāng)A或C為無(wú)限集時(shí)，|A∪C|=|B∪D|

2.fn∈L(E),則fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ）

A、充分條件

B、必要條件

C、充要條件

D、非充分非必要條件

3.設(shè)g(x)是[0,1]上的有界變差函數(shù)，則f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的

A、連續(xù)函數(shù)

B、單調(diào)函數(shù)

C、有界變差函數(shù)

D、絕對(duì)連續(xù)函數(shù)

4.開(kāi)集減去閉集其差集是（ ）

A、閉集

B、開(kāi)集

C、非開(kāi)非閉集

D、既開(kāi)既閉集

5.若A為R^n中一疏集，則（ ）

A、Ac為稠集

B、A為開(kāi)集

C、A為孤立點(diǎn)集

D、A不完備

三、多選題(共8題，16分)

1.若A 和B都是R中開(kāi)集，且A是B的真子集，則（ ）

A、m(A)<m(B)

B、m(A)<=m(B)

C、m(B\A)=m(A)

D、m(B)=m(A)+m(B\A)

2.設(shè)f為[a,b]上增函數(shù)，則f為（ ）

A、幾乎處處可微

B、L可積

C、f’可積

D、區(qū)間[a,b]上積分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)

3.設(shè)fn與gn在X上分別測(cè)度收斂于f與g，則（ ）

A、fn測(cè)度收斂于|f|

B、afn+bgn測(cè)度收斂于af+bg

C、(fn)^2測(cè)度收斂于f^2

D、fngn測(cè)度收斂于fg

4.若0<=g<=f且f可積，則（ ）

A、g可積

B、g可測(cè)

C、g<∞，a.e.

D、當(dāng)g可測(cè)時(shí)g必可積

5.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),則f(x)在(-∞，+∞)上

A、有L積分值

B、廣義R可積

C、L可積

D、積分具有絕對(duì)連續(xù)性

6.設(shè)E為R^n中的一個(gè)不可測(cè)集，則其特征函數(shù)是

A、是L可測(cè)函數(shù)

B、不是L可測(cè)函數(shù)

C、有界函數(shù)

D、連續(xù)函數(shù)

7.若f∈AC[a,b]，則（ ）

A、f∈C[a,b]

B、f∈BV[a,b]

C、f(x)=f(a)+∫ax f ‘(t)dt

D、f∈Lip[a,b]

8.設(shè)f為[a,b]上減函數(shù)，則f為（ ）

A、有界函數(shù)

B、可測(cè)函數(shù)

C、有界變差函數(shù)

D、絕對(duì)連續(xù)函數(shù)

福師《實(shí)變函數(shù)》在線作業(yè)一

共50道題 總分：100分

一、判斷題(共37題，74分)

1.有界可測(cè)集的測(cè)度為有限數(shù)，無(wú)界可測(cè)集的測(cè)度為+∞

A、錯(cuò)誤

B、正確

2.若f有界變差且g滿(mǎn)足Lip條件，則復(fù)合函數(shù)g(f(x))也是有界變差.

A、錯(cuò)誤

B、正確

3.集合A可測(cè)等價(jià)于該集合的特征函數(shù)X_A可測(cè)

A、錯(cuò)誤

B、正確

4.若f,g∈BV，則|f|,f+,f-,f∧g,f∨g屬于BV。

A、錯(cuò)誤

B、正確

5.不存在這樣的函數(shù)f：在區(qū)間[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上積分值∫fdx<f(b)-f(a) .

A、錯(cuò)誤

B、正確

6.若曲線L由參數(shù)方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)給定，則L為可度曲線等價(jià)于f,h,g∈BV.

A、錯(cuò)誤

B、正確

7.若f,g是增函數(shù)，則f+g,f-g,fg也是增函數(shù)。

A、錯(cuò)誤

B、正確

8.利用積分的sigma-可加性質(zhì)(第二條款)可以證明絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)各項(xiàng)可以任意重排。

A、錯(cuò)誤

B、正確

9.一致收斂的有界變差函數(shù)序列的極限函數(shù)也是有界變差函數(shù).

A、錯(cuò)誤

B、正確

10.若對(duì)任意有理數(shù)r,X(f=r)都可測(cè)，則f為可測(cè)函數(shù).

A、錯(cuò)誤

B、正確

11.若|f|和f^2都是有界變差，則f為有界變差.

A、錯(cuò)誤

B、正確

12.若f∈AC，則f是連續(xù)的有界變差函數(shù)，即f∈C∩BV.

A、錯(cuò)誤

B、正確

13.函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上Ｒ可積的充要條件是f在區(qū)間[a,b]上的不連續(xù)點(diǎn)集為零測(cè)度集.

A、錯(cuò)誤

B、正確

14.積分的引進(jìn)分為三個(gè)遞進(jìn)的步驟：非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)的積分，非負(fù)可測(cè)函數(shù)的積分，一般可測(cè)函數(shù)的積分.

A、錯(cuò)誤

B、正確

15.三大積分收斂定理是實(shí)變函數(shù)論的基本結(jié)果。

A、錯(cuò)誤

B、正確

16.若f,g∈AC，則|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不為0),f∧g,f∨g均屬于AC。

A、錯(cuò)誤

B、正確

17.函數(shù)f≡C∈[-∞,∞],則f可測(cè)。

A、錯(cuò)誤

B、正確

18.存在某區(qū)間[a,b]上增函數(shù)f，使得f'(x)在[a,b]上積分值∫fdx<f(b)-f(a) .

A、錯(cuò)誤

B、正確

19.增函數(shù)f在[a,b]上至多有可數(shù)個(gè)間斷點(diǎn)，且只能有第一類(lèi)間斷點(diǎn).

A、錯(cuò)誤

B、正確

20.可積的充分條件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.

A、錯(cuò)誤

B、正確

21.連續(xù)函數(shù)和單調(diào)函數(shù)都是有界變差函數(shù).

A、錯(cuò)誤

B、正確

22.若f,g∈BV，|g|>c>0,則f/g屬于BV。

A、錯(cuò)誤

B、正確

23.若f有界且m(X)<∞,則f可測(cè)。

A、錯(cuò)誤

B、正確

24.若f,g∈BV，則f/g(g不為0)屬于BV。

A、錯(cuò)誤

B、正確

25.有限覆蓋定理的內(nèi)容是：若U是R^n中緊集F的開(kāi)覆蓋，則可以從U中取出有限子覆蓋.

A、錯(cuò)誤

B、正確

26.可數(shù)集的測(cè)度必為零，反之也成立.

A、錯(cuò)誤

B、正確

27.f∈BV，則f至多有可數(shù)個(gè)間斷點(diǎn)，而且只能有第一類(lèi)間斷點(diǎn).

A、錯(cuò)誤

B、正確

28.若f廣義R可積且f不變號(hào)，則f L可積.

A、錯(cuò)誤

B、正確

29.三大積分收斂定理是積分論的中心結(jié)果。

A、錯(cuò)誤

B、正確

30.閉集套定理的內(nèi)容是：{F_k}是R^n中非空有界閉集的降列，則F_k對(duì)所有k取交集非空.

A、錯(cuò)誤

B、正確

31.f可積的充要條件:|f|可積。

A、錯(cuò)誤

B、正確

32.g的連續(xù)點(diǎn)是L點(diǎn)，但L點(diǎn)未必是連續(xù)點(diǎn).

A、錯(cuò)誤

B、正確

33.若f可測(cè)，則|f|可測(cè)，反之也成立.

A、錯(cuò)誤

B、正確

34.利用有界變差函數(shù)可表示為兩個(gè)增函數(shù)之差，可將關(guān)于單調(diào)函數(shù)的一些結(jié)論轉(zhuǎn)移到有界變差函數(shù)：幾乎處處可微而且導(dǎo)函數(shù)可積。

A、錯(cuò)誤

B、正確

35.f在E上可積的充要條件是級(jí)數(shù) M[E(|f|>=n)]之和收斂.

A、錯(cuò)誤

B、正確

36.零測(cè)度集的任何子集都是可測(cè)集.

A、錯(cuò)誤

B、正確

37.f在[a,b]上為增函數(shù)，則f的導(dǎo)數(shù)f’∈L1[a,b].

A、錯(cuò)誤

B、正確

二、單選題(共5題，10分)

1.設(shè)g(x)是[0,1]上的有界變差函數(shù)，則f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的

A、連續(xù)函數(shù)

B、單調(diào)函數(shù)

C、有界變差函數(shù)

D、絕對(duì)連續(xù)函數(shù)

2.若|A|=|B|,|C|=|D|,則

A、|A∪C|=|B∪D|

B、|A∩C|=|B∩D|

C、|A\C|=|B\D|

D、當(dāng)A或C為無(wú)限集時(shí)，|A∪C|=|B∪D|

3.若f∈L(X),則

A、f在X上幾乎處處連續(xù)

B、存在g∈L(X)使得|f|<=g

C、若∫Xfdu=0,則f=0,a.e.

4.有限個(gè)可數(shù)集的乘積集是（ ）

A、有限集

B、可數(shù)集

C、有連續(xù)統(tǒng)勢(shì)的集

D、基數(shù)為2^c的集

5.下列關(guān)系式中不成立的是（ ）

A、f(∪Ai)=∪f(wàn)(Ai)

B、f∩(Ai)=f(∩Ai)

C、(A∩B)0=A0∩B0

D、(∪Ai)c=∩(Aic)

三、多選題(共8題，16分)

1.若A 和B都是R中開(kāi)集，且A是B的真子集，則（ ）

A、m(A)<m(B)

B、m(A)<=m(B)

C、m(B\A)=m(A)

D、m(B)=m(A)+m(B\A)

2.在R上定義f，當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)f(x)=1，當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí)f(x)=0，則（ ）

A、f在R上處處不連續(xù)

B、f在R上為可測(cè)函數(shù)

C、f幾乎處處連續(xù)

D、f不是可測(cè)函數(shù)

3.若f,g是有界變差函數(shù)，則（ ）

A、f+g有界變差函數(shù)

B、fg有界變差函數(shù)

C、f/g有界變差函數(shù)

D、max(f,g)有界變差函數(shù)

4.若f(x)為L(zhǎng)ebesgue可積函數(shù)，則（ ）

A、f可測(cè)

B、|f|可積

C、f^2可積

D、|f|<∞.a.e.

5.設(shè)E為R^n中的一個(gè)不可測(cè)集，則其特征函數(shù)是

A、是L可測(cè)函數(shù)

B、不是L可測(cè)函數(shù)

C、有界函數(shù)

D、連續(xù)函數(shù)

6.若f不可測(cè)，g可測(cè)，則下列正確的是（ ）

A、f+g不可測(cè)

B、fg不可測(cè)

C、g^2可測(cè)

D、|g|可測(cè)

7.A，B是兩個(gè)集合，則下列正確的是（ ）

A、f^-1(f（A）)=A

B、f^-1(f（A）)包含A

C、f(f^-1（A）)=A

D、f(A\B)包含f(A)\f(B)

8.設(shè)fn與gn在X上分別測(cè)度收斂于f與g，則（ ）

A、fn測(cè)度收斂于|f|

B、afn+bgn測(cè)度收斂于af+bg

C、(fn)^2測(cè)度收斂于f^2

D、fngn測(cè)度收斂于fg

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