福師《實(shí)變函數(shù)》在線作業(yè)一
共50道題 總分：100分
一、判斷題(共37題，74分)
1.f∈BV，則f幾乎處處可微，且f’∈L1[a,b].
A、錯(cuò)誤
B、正確
2.當(dāng)f在[a,b]上R可積時(shí)也必L可積，而且兩種積分值相等.
A、錯(cuò)誤
B、正確
3.若f,g是增函數(shù)，則f+g,f-g,fg也是增函數(shù)。
A、錯(cuò)誤
B、正確
4.若f∈AC，則f是連續(xù)的有界變差函數(shù)，即f∈C∩BV.
A、錯(cuò)誤
B、正確
5.若f有界且m(X)<∞,則f可測。
A、錯(cuò)誤
B、正確
6.增函數(shù)f在[a,b]上幾乎處處可微。
A、錯(cuò)誤
B、正確
7.若f,g∈BV，則f+g,f-g,fg均屬于BV。
A、錯(cuò)誤
B、正確
8.對(duì)任意可測集E，若f在E上可積，則f的積分具有絕對(duì)連續(xù)性.
A、錯(cuò)誤
B、正確
9.若f,g∈BV，則|f|,f+,f-,f∧g,f∨g屬于BV。
A、錯(cuò)誤
B、正確
10.若f∈BV當(dāng)且僅當(dāng)f是兩個(gè)增函數(shù)之差。
A、錯(cuò)誤
B、正確
11.測度為零的集稱為零測集.
A、錯(cuò)誤
B、正確
12.存在某區(qū)間[a,b]上增函數(shù)f，使得f'(x)在[a,b]上積分值∫fdx<f(b)-f(a) .
A、錯(cuò)誤
B、正確
13.有界可測函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上L可積的充要條件是f在[a,b]上幾乎處處連續(xù).
A、錯(cuò)誤
B、正確
14.若f可測，則|f|可測，反之也成立.
A、錯(cuò)誤
B、正確
15.f可積的必要條件:f幾乎處處有限，且集X(f≠0)有sigma-有限測度。
A、錯(cuò)誤
B、正確
16.若f_n測度收斂于f，g連續(xù)，則g(f_n)也測度收斂于g(f).
A、錯(cuò)誤
B、正確
17.函數(shù)f在[a,b]上為常數(shù)的充要條件是f在[a,b]上絕對(duì)連續(xù)且在[a,b]上幾乎處處為零.
A、錯(cuò)誤
B、正確
18.有界可測集的測度為有限數(shù)，無界可測集的測度為+∞
A、錯(cuò)誤
B、正確
19.當(dāng)f在(0,+∞)上一致連續(xù)且L可積時(shí)，則lim_{x->+∞}f(x)=0.
A、錯(cuò)誤
B、正確
20.若f∈L1[a,b],則幾乎所有的x屬于[a,b]均是g的L點(diǎn).
A、錯(cuò)誤
B、正確
21.利用有界變差函數(shù)可表示為兩個(gè)增函數(shù)之差，可將關(guān)于單調(diào)函數(shù)的一些結(jié)論轉(zhuǎn)移到有界變差函數(shù)：幾乎處處可微而且導(dǎo)函數(shù)可積。
A、錯(cuò)誤
B、正確
22.三大積分收斂定理是積分論的中心結(jié)果。
A、錯(cuò)誤
B、正確
23.f在E上可積的充要條件是級(jí)數(shù) M[E(|f|>=n)]之和收斂.
A、錯(cuò)誤
B、正確
24.若f廣義R可積且f不變號(hào)，則f L可積.
A、錯(cuò)誤
B、正確
25.無論Riemann積分還是Lebesgue積分，只要|f|可積，則f必可積.
A、錯(cuò)誤
B、正確
26.g的連續(xù)點(diǎn)是L點(diǎn)，但L點(diǎn)未必是連續(xù)點(diǎn).
A、錯(cuò)誤
B、正確
27.連續(xù)函數(shù)和單調(diào)函數(shù)都是有界變差函數(shù).
A、錯(cuò)誤
B、正確
28.絕對(duì)連續(xù)函數(shù)是一類特殊的連續(xù)有界變差函數(shù)。
A、錯(cuò)誤
B、正確
29.f為[a,b]上減函數(shù)，則f'(x)在[a,b]可積且其積分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A、錯(cuò)誤
B、正確
30.設(shè)f:R->R可測，f(x+y)=f(x)+f(y),則f(x)=ax
A、錯(cuò)誤
B、正確
31.R中任一非空開集是可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間之并.
A、錯(cuò)誤
B、正確
32.若f_n測度收斂于f，則1/f_n也測度收斂于1/f.
A、錯(cuò)誤
B、正確
33.可數(shù)個(gè)G_delta集之交和有限個(gè)G_delta集之并仍是G_delta集，但可數(shù)個(gè)G_delta集之并未必仍是G_delta集
A、錯(cuò)誤
B、正確
34.函數(shù)f≡C∈[-∞,∞],則f可測。
A、錯(cuò)誤
B、正確
35.有限覆蓋定理的內(nèi)容是：若U是R^n中緊集F的開覆蓋，則可以從U中取出有限子覆蓋.
A、錯(cuò)誤
B、正確
36.函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上Ｒ可積的充要條件是f在區(qū)間[a,b]上的不連續(xù)點(diǎn)集為零測度集.
A、錯(cuò)誤
B、正確
37.f,g∈M(X),則fg∈M(X).
A、錯(cuò)誤
B、正確
二、單選題(共5題，10分)
1.fn∈L(E),則fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ）
A、充分條件
B、必要條件
C、充要條件
D、非充分非必要條件
2.開集減去閉集其差集是（ ）
A、閉集
B、開集
C、非開非閉集
D、既開既閉集
3.下列關(guān)系式中不成立的是（ ）
A、f(∪Ai)=∪f(Ai)
B、f∩(Ai)=f(∩Ai)
C、(A∩B)0=A0∩B0
D、(∪Ai)c=∩(Aic)
4.fn->f,a.e.,則
A、fn依測度收斂于f
B、fn幾乎一致收斂于f
C、fn一致收斂于f
D、|fn|->|f|,a.e.
5.設(shè)g(x)是[0,1]上的有界變差函數(shù)，則f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
A、連續(xù)函數(shù)
B、單調(diào)函數(shù)
C、有界變差函數(shù)
D、絕對(duì)連續(xù)函數(shù)
三、多選題(共8題，16分)
1.若f∈AC[a,b]，則（ ）
A、f∈C[a,b]
B、f∈BV[a,b]
C、f(x)=f(a)+∫ax f ‘(t)dt
D、f∈Lip[a,b]
2.若f∈BV[a,b]，則（ ）
A、f為有界函數(shù)
B、Vax(f)為增函數(shù)
C、對(duì)任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
D、f至多有可數(shù)個(gè)第一類間斷點(diǎn)
3.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),則f(x)在(-∞，+∞)上
A、有L積分值
B、廣義R可積
C、L可積
D、積分具有絕對(duì)連續(xù)性
4.若f,g是有界變差函數(shù)，則（ ）
A、f+g有界變差函數(shù)
B、fg有界變差函數(shù)
C、f/g有界變差函數(shù)
D、max(f,g)有界變差函數(shù)
5.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),則f(x)在(0,+∞)上
A、廣義R可積
B、不是廣義R可積
C、L可積
D、不是L可積
6.若0<=g<=f且f可積，則（ ）
A、g可積
B、g可測
C、g<∞，a.e.
D、當(dāng)g可測時(shí)g必可積
7.設(shè)E1，E2是R^n中測度有限的可測集，則
A、m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2
B、若E1包含于E2,mE1<=mE2
C、若E1包含于E2,m(E2\E1)=mE2-mE1
8.若f(x)為Lebesgue可積函數(shù)，則（ ）
A、f可測
B、|f|可積
C、f^2可積
D、|f|<∞.a.e.
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