福師《實(shí)變函數(shù)》在線作業(yè)二
共50道題 總分：100分
一、判斷題(共37題，74分)
1.f∈BV，則f有“標(biāo)準(zhǔn)分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分別為f的正變差和負(fù)變差.
A、錯(cuò)誤
B、正確
2.增函數(shù)f在[a,b]上幾乎處處可微。
A、錯(cuò)誤
B、正確
3.設(shè)f是區(qū)間[a,b]上的有界實(shí)函數(shù)，則f在[a,b]上R可積，當(dāng)且僅當(dāng)f在[a,b]上幾乎處處連續(xù).
A、錯(cuò)誤
B、正確
4.f為[a,b]上減函數(shù)，則f'(x)在[a,b]可積且其積分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A、錯(cuò)誤
B、正確
5.存在某區(qū)間[a,b]上增函數(shù)f，使得f'(x)在[a,b]上積分值∫fdx<f(b)-f(a) .
A、錯(cuò)誤
B、正確
6.當(dāng)f在[a,b]上R可積時(shí)也必L可積，而且兩種積分值相等.
A、錯(cuò)誤
B、正確
7.若f廣義R可積且f不變號(hào)，則f L可積.
A、錯(cuò)誤
B、正確
8.若對(duì)任意有理數(shù)r,X(f=r)都可測(cè)，則f為可測(cè)函數(shù).
A、錯(cuò)誤
B、正確
9.可數(shù)集的測(cè)度必為零，反之也成立.
A、錯(cuò)誤
B、正確
10.若f有界且m(X)<∞,則f可測(cè)。
A、錯(cuò)誤
B、正確
11.三大積分收斂定理包括Levi定理，F(xiàn)atou定理和Lebesgue控制收斂定理。
A、錯(cuò)誤
B、正確
12.對(duì)任意可測(cè)集E，若f在E上可積，則f的積分具有絕對(duì)連續(xù)性.
A、錯(cuò)誤
B、正確
13.若F是R中一緊集(即有界閉集)且F不等于R，則F是從一閉區(qū)間中挖去可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間后所得之集.
A、錯(cuò)誤
B、正確
14.三大積分收斂定理是積分論的中心結(jié)果。
A、錯(cuò)誤
B、正確
15.若f_n測(cè)度收斂于f，g連續(xù)，則g(f_n)也測(cè)度收斂于g(f).
A、錯(cuò)誤
B、正確
16.若f∈BV當(dāng)且僅當(dāng)f是兩個(gè)增函數(shù)之差。
A、錯(cuò)誤
B、正確
17.R中任一非空開集是可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間之并.
A、錯(cuò)誤
B、正確
18.f可積的必要條件:f幾乎處處有限，且集X(f≠0)有sigma-有限測(cè)度。
A、錯(cuò)誤
B、正確
19.一致收斂的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)序列的極限函數(shù)也是絕對(duì)連續(xù)函數(shù).
A、錯(cuò)誤
B、正確
20.L積分下Newton-leibniz公式成立的充要條件是被積函數(shù)為絕對(duì)連續(xù)函數(shù)。
A、錯(cuò)誤
B、正確
21.函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上Ｒ可積的充要條件是f在區(qū)間[a,b]上的不連續(xù)點(diǎn)集為零測(cè)度集.
A、錯(cuò)誤
B、正確
22.對(duì)R^n中任意點(diǎn)集E，E\E’必為可測(cè)集.
A、錯(cuò)誤
B、正確
23.若f∈C1[a,b]（連續(xù)可微）,則f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].
A、錯(cuò)誤
B、正確
24.存在[0,1]上的有界可測(cè)函數(shù)，使它不與任何連續(xù)函數(shù)幾乎處處相等．
A、錯(cuò)誤
B、正確
25.f可積的充要條件:|f|可積。
A、錯(cuò)誤
B、正確
26.不存在這樣的函數(shù)f：在區(qū)間[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上積分值∫fdx<f(b)-f(a) .
A、錯(cuò)誤
B、正確
27.f∈BV，則f至多有可數(shù)個(gè)間斷點(diǎn)，而且只能有第一類間斷點(diǎn).
A、錯(cuò)誤
B、正確
28.若f可測(cè)，則|f|可測(cè)，反之也成立.
A、錯(cuò)誤
B、正確
29.若f有界變差且g滿足Lip條件，則復(fù)合函數(shù)g(f(x))也是有界變差.
A、錯(cuò)誤
B、正確
30.設(shè)f為[a,b]上增函數(shù)，則存在分解f=g+h，其中g(shù)是上一個(gè)連續(xù)增函數(shù)，h是f的跳躍函數(shù).
A、錯(cuò)誤
B、正確
31.有限覆蓋定理的內(nèi)容是：若U是R^n中緊集F的開覆蓋，則可以從U中取出有限子覆蓋.
A、錯(cuò)誤
B、正確
32.f∈BV，則f幾乎處處可微，且f’∈L1[a,b].
A、錯(cuò)誤
B、正確
33.若f,g∈AC，則|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不為0),f∧g,f∨g均屬于AC。
A、錯(cuò)誤
B、正確
34.函數(shù)f≡C∈[-∞,∞],則f可測(cè)。
A、錯(cuò)誤
B、正確
35.L積分比R積分更廣泛，且具有優(yōu)越性。
A、錯(cuò)誤
B、正確
36.若f∈BV,則f有界。
A、錯(cuò)誤
B、正確
37.有界可測(cè)函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上L可積的充要條件是f在[a,b]上幾乎處處連續(xù).
A、錯(cuò)誤
B、正確
二、單選題(共5題，10分)
1.若f∈L(X),則
A、f在X上幾乎處處連續(xù)
B、存在g∈L(X)使得|f|<=g
C、若∫Xfdu=0,則f=0,a.e.
2.開集減去閉集其差集是（ ）
A、閉集
B、開集
C、非開非閉集
D、既開既閉集
3.若|A|=|B|,|C|=|D|,則
A、|A∪C|=|B∪D|
B、|A∩C|=|B∩D|
C、|A\C|=|B\D|
D、當(dāng)A或C為無(wú)限集時(shí)，|A∪C|=|B∪D|
4.fn->f,a.e.,則
A、fn依測(cè)度收斂于f
B、fn幾乎一致收斂于f
C、fn一致收斂于f
D、|fn|->|f|,a.e.
5.下列關(guān)系式中不成立的是（ ）
A、f(∪Ai)=∪f(wàn)(Ai)
B、f∩(Ai)=f(∩Ai)
C、(A∩B)0=A0∩B0
D、(∪Ai)c=∩(Aic)
三、多選題(共8題，16分)
1.設(shè)E為R^n中的一個(gè)不可測(cè)集，則其特征函數(shù)是
A、是L可測(cè)函數(shù)
B、不是L可測(cè)函數(shù)
C、有界函數(shù)
D、連續(xù)函數(shù)
2.若f(x)為L(zhǎng)ebesgue可積函數(shù)，則（ ）
A、f可測(cè)
B、|f|可積
C、f^2可積
D、|f|<∞.a.e.
3.在R上定義f，當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)f(x)=1，當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí)f(x)=0，則（ ）
A、f在R上處處不連續(xù)
B、f在R上為可測(cè)函數(shù)
C、f幾乎處處連續(xù)
D、f不是可測(cè)函數(shù)
4.若0<=g<=f且f可積，則（ ）
A、g可積
B、g可測(cè)
C、g<∞，a.e.
D、當(dāng)g可測(cè)時(shí)g必可積
5.設(shè)fn與gn在X上分別測(cè)度收斂于f與g，則（ ）
A、fn測(cè)度收斂于|f|
B、afn+bgn測(cè)度收斂于af+bg
C、(fn)^2測(cè)度收斂于f^2
D、fngn測(cè)度收斂于fg
6.A，B是兩個(gè)集合，則下列正確的是（ ）
A、f^-1(f（A）)=A
B、f^-1(f（A）)包含A
C、f(f^-1（A）)=A
D、f(A\B)包含f(A)\f(B)
7.若f不可測(cè)，g可測(cè)，則下列正確的是（ ）
A、f+g不可測(cè)
B、fg不可測(cè)
C、g^2可測(cè)
D、|g|可測(cè)
8.若f,g是有界變差函數(shù)，則（ ）
A、f+g有界變差函數(shù)
B、fg有界變差函數(shù)
C、f/g有界變差函數(shù)
D、max(f,g)有界變差函數(shù)
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