福師《實變函數(shù)》在線作業(yè)二-0003
試卷總分:100 得分:100
一、判斷題 (共 37 道試題,共 74 分)
1.f∈BV，則f有“標(biāo)準(zhǔn)分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分別為f的正變差和負(fù)變差.
2.增函數(shù)f在[a,b]上幾乎處處可微。
3.設(shè)f是區(qū)間[a,b]上的有界實函數(shù)，則f在[a,b]上R可積，當(dāng)且僅當(dāng)f在[a,b]上幾乎處處連續(xù).
4.f為[a,b]上減函數(shù)，則f'(x)在[a,b]可積且其積分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
5.存在某區(qū)間[a,b]上增函數(shù)f，使得f'(x)在[a,b]上積分值∫fdx<f(b)-f(a) .
6.當(dāng)f在[a,b]上R可積時也必L可積，而且兩種積分值相等.
7.若f廣義R可積且f不變號，則f L可積.
8.若對任意有理數(shù)r,X(f=r)都可測，則f為可測函數(shù).
9.可數(shù)集的測度必為零，反之也成立.
10.若f有界且m(X)<∞,則f可測。
11.三大積分收斂定理包括Levi定理，F(xiàn)atou定理和Lebesgue控制收斂定理。
12.對任意可測集E，若f在E上可積，則f的積分具有絕對連續(xù)性.
13.若F是R中一緊集(即有界閉集)且F不等于R，則F是從一閉區(qū)間中挖去可數(shù)個互不相交的開區(qū)間后所得之集.
14.三大積分收斂定理是積分論的中心結(jié)果。
15.若f_n測度收斂于f，g連續(xù)，則g(f_n)也測度收斂于g(f).
16.若f∈BV當(dāng)且僅當(dāng)f是兩個增函數(shù)之差。
17.R中任一非空開集是可數(shù)個互不相交的開區(qū)間之并.
18.f可積的必要條件:f幾乎處處有限，且集X(f≠0)有sigma-有限測度。
19.一致收斂的絕對連續(xù)函數(shù)序列的極限函數(shù)也是絕對連續(xù)函數(shù).
20.L積分下Newton-leibniz公式成立的充要條件是被積函數(shù)為絕對連續(xù)函數(shù)。
21.函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上Ｒ可積的充要條件是f在區(qū)間[a,b]上的不連續(xù)點集為零測度集.
22.對R^n中任意點集E，E\E'必為可測集.
23.若f∈C1[a,b]（連續(xù)可微）,則f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].
24.存在[0,1]上的有界可測函數(shù)，使它不與任何連續(xù)函數(shù)幾乎處處相等．
25.f可積的充要條件:|f|可積。
26.不存在這樣的函數(shù)f：在區(qū)間[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上積分值∫fdx<f(b)-f(a) .
27.f∈BV，則f至多有可數(shù)個間斷點，而且只能有第一類間斷點.
28.若f可測，則|f|可測，反之也成立.
29.若f有界變差且g滿足Lip條件，則復(fù)合函數(shù)g(f(x))也是有界變差.
30.設(shè)f為[a,b]上增函數(shù)，則存在分解f=g+h，其中g(shù)是上一個連續(xù)增函數(shù)，h是f的跳躍函數(shù).
31.有限覆蓋定理的內(nèi)容是：若U是R^n中緊集F的開覆蓋，則可以從U中取出有限子覆蓋.
32.f∈BV，則f幾乎處處可微，且f'∈L1[a,b].
33.若f,g∈AC，則|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不為0),f∧g,f∨g均屬于AC。
34.函數(shù)f≡C∈[-∞,∞],則f可測。
35.L積分比R積分更廣泛，且具有優(yōu)越性。
36.若f∈BV,則f有界。
37.有界可測函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上L可積的充要條件是f在[a,b]上幾乎處處連續(xù).
二、單選題 (共 5 道試題,共 10 分)
38.若f∈L(X),則
A.f在X上幾乎處處連續(xù)
B.存在g∈L(X)使得|f|<=g
C.若∫Xfdu=0,則f=0,a.e.
39.開集減去閉集其差集是（ ）
A.閉集
B.開集
C.非開非閉集
D.既開既閉集
40.若|A|=|B|,|C|=|D|,則
A.|A∪C|=|B∪D|
B.|A∩C|=|B∩D|
C.|A\C|=|B\D|
D.當(dāng)A或C為無限集時，|A∪C|=|B∪D|
41.fn->f,a.e.,則
A.fn依測度收斂于f
B.fn幾乎一致收斂于f
C.fn一致收斂于f
D.|fn|->|f|,a.e.
42.下列關(guān)系式中不成立的是（ ）
A.f(∪Ai)=∪f(Ai)
B.f∩(Ai)=f(∩Ai)
C.(A∩B)0=A0∩B0
D.(∪Ai)c=∩(Aic)
三、多選題 (共 8 道試題,共 16 分)
43.設(shè)E為R^n中的一個不可測集，則其特征函數(shù)是
A.是L可測函數(shù)
B.不是L可測函數(shù)
C.有界函數(shù)
D.連續(xù)函數(shù)
44.若f(x)為Lebesgue可積函數(shù)，則（ ）
A.f可測
B.|f|可積
C.f^2可積
D.|f|<∞.a.e.
45.在R上定義f，當(dāng)x為有理數(shù)時f(x)=1，當(dāng)x為無理數(shù)時f(x)=0，則（ ）
A.f在R上處處不連續(xù)
B.f在R上為可測函數(shù)
C.f幾乎處處連續(xù)
D.f不是可測函數(shù)
46.若0<=g<=f且f可積，則（ ）
A.g可積
B.g可測
C.g<∞，a.e.
D.當(dāng)g可測時g必可積
47.設(shè)fn與gn在X上分別測度收斂于f與g，則（ ）
A.fn測度收斂于|f|
B.afn+bgn測度收斂于af+bg
C.(fn)^2測度收斂于f^2
D.fngn測度收斂于fg
48.A，B是兩個集合，則下列正確的是（ ）
A.f^-1(f（A）)=A
B.f^-1(f（A）)包含A
C.f(f^-1（A）)=A
D.f(A\B)包含f(A)\f(B)
49.若f不可測，g可測，則下列正確的是（ ）
A.f+g不可測
B.fg不可測
C.g^2可測
D.|g|可測
50.若f,g是有界變差函數(shù)，則（ ）
A.f+g有界變差函數(shù)
B.fg有界變差函數(shù)
C.f/g有界變差函數(shù)
D.max(f,g)有界變差函數(shù)
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